Je réponds / PPCM et PGCD


Depuis quelques jours, on dirait que tout le monde me questionne sur le plus grand commun diviseur (PGCD) et le plus petit commun multiple (PPCM)

Pour moi, il y a la méthode des petits qui débutent…  et celle des plus grands qui utilisent les exposants.


Méthode des plus jeunes : le diagramme de Venn.

On commence par la décomposition en nombres premiers ( on peut utiliser l’arbre à facteurs)
Par exemple, prenons les nombres 12 et 20
12 = 2 x 2 x 3
20 =  2 x 2 x 5
On repère ce qui est commun à nos deux nombres.
2 x 2
On place ensuite ce qu’on vient de découvrir dans un diagramme de Venn (bulles qui forment un centre commun )
Les nombres premiers communs, que nous venons de trouver précédemment, vont dans le centre, puis dans une bulle on place le nombre premier qui reste (3) et dans l’autre bulle le nombre premier qui reste (5)
Dans notre exemple.
bulle 1… le 3
centre…  le 2 x 2
bulle 2…  le 5
On peut toujours vérifier en multipliant le centre par chacune des bulles.  On doit retrouver nos nombres de départ.
Le PGCD c’est le centre de notre diagramme.
PGCD (12, 20) =  4 (2×2)
Le PPCM c’est la multiplication de tous les facteurs premiers de notre diagramme.  On prend tous les chiffres du diagramme que l’on multiplie ensemble.
PPCM (12, 20) = 3  x 2 x 2 x 5= 60
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Pour les plus grands
Par la suite, pour les plus grands, on utilise les exposants pour travailler.
On commence par l’arbre des facteurs premiers.
45 = 3 x 3 x 5 = 3² x 5
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
Je cherche ce qui est commun à mes deux nombres.
45 = 3 x 3 x 5 = 3² x 5
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
Ce qui est commun : PGCD (45, 60) = 15
Pour le PPCM :
Je commence par observer tous les multiples que je possède :
45 = 3 x 3 x 5 = 3² x 5
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
donc le 2, 3 et 5
Je prends chacun des multiples et je lui appose l’exposant le plus grand.  Je les multiplie ensuite.
2² x 3² x 5 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5
PPCM sera donc 180
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Voici un autre exemple :  24 et 54
Je décompose en facteurs premiers :
24 = 2 x 2 x 2 x 3  = 2³ x 3
54 = 2 x 3 x 3 x 3  = 2 x 3³
Je repère ce qui est commun à mes deux nombres (PGCD)
24 = 2 x 2 x 2 x 3  = 2³ x 3
54 = 2 x 3 x 3 x 3  = 2 x 3³
PGCD (24 , 54) est 6
Je prends chacun des multiples et je lui appose l’exposant le plus grand.  Je multiplie ensuite.
2³ x 3³ = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3
PPCM (24 , 54) est : 216
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J’ignore si ce sera compréhensible puisque je préfère, et de loin d’ailleurs, donner mes explications oralement. Si vous ne comprenez pas davantage, n’hésitez pas.
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4 réflexions sur “Je réponds / PPCM et PGCD

  1. Merci pour les explications! C’est très claire 🙂
    Par contre, je ne comprend pas l’utilité.
    Mes enfants sont encore jeune, donc pas rendu là et je ne me souviens pas du tout d’avoir vu ceci à l’école (possiblement que oui).
    En pratique, réellement, c’est utiliser pour faire quoi?

    J'aime

    • Comme plusieurs choses en mathématique, on peut s’en passer. On s’en sert principalement pour trouver les fractions irréductibles. Par exemple, si on te demande de simplifier une fraction comme 12/6… tu pourrais, je dis bien «tu pourrais» utiliser la méthode longue pour trouver le diviseur commun (PGCD)

      12 = 2 x 2 x 3
      6 = 2 x 3
      le PGCD est le 2 x 3 = 6

      Dans les faits, dans le concret, on fait autrement! Ha! Que ce soit pour le PPCM ou le PGCD ce ne sont que des outils supplémentaires pour travailler avec les fractions. 🙂

      Aimé par 1 personne

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